initial commit

UTC501/25-01-30/README.md

@@ -0,0 +1,133 @@
+# UTC 501 31/01/2025
+
+## Exercice 7 
+
+```
+p = 17, q = 11
+
+n = pq = 187
+
+e = 7 premier avec (p - 1)(q - 1) = 160
+```
+
+### 1)
+
+```
+1 = u * 7 + v * 160
+    |
+    V
+    d
+
+160 = 22 * 7 + 6
+7 = 1 * 6 + 1
+6 = 6 * 1 + 0                   d    e
+                                |    |
+1 = 7 - 1 * 6                   V    V
+1 = 7 - 1(160 - 22 * 7) =-160 + 23 * 7
+```
+
+### 2)
+
+```
+12 00 13 01 20 08
+l  _  m  a  t  h
+
+séparer en groupe de 3
+
+120 013 012 008
+
+--------------------------
+
+120 = 
+
+(120²)³ * 120 Mod(187)
+120² = 14400 ≡ 1 Mod (187)
+1 * 120 ≡ 120 Mod (187)
+
+120
+
+--------------------------
+
+013 =
+
+(13³)² = 2197² ≡ 140² Mod(187)
+19600 ≡ 152 Mod (187)
+152*13 ≡ 103 Mod (187)
+
+106
+
+--------------------------
+
+012 = 
+
+(12³)² = 1728² ≡ 45² Mod (187)
+1764 ≡ 81 Mod (187)
+81 * 12 ≡ 37 Mod (187)
+
+
+
+
+---------------
+
+12⁷ (Mod 187) 
+
+35831808 modulo 187 = 177
+
+35831808 ≡ 177 (mod 187)
+177
+
+---------------
+
+00⁷ Mod(187)
+
+0 modulo 187 = 0
+
+0 ≡ 0 (mod 187)
+0
+
+---------------
+
+13⁷ (Mod 187)
+
+62748517 modulo 187 = 106
+
+62748517 ≡ 106 (mod 187)
+106
+
+---------------
+
+01⁷ (Mod 187)
+
+1 modulo 187 = 1
+
+1 ≡ 1 (mod 187)
+1
+
+---------------
+
+20⁷ (Mod 187)
+
+1280000000 modulo 187 = 147
+
+1280000000 ≡ 147 (mod 187)
+147
+
+---------------
+
+08⁷ Mod(187)
+
+2097152 modulo 187 = 134
+
+2097152 ≡ 134 (mod 187)
+134
+
+---------------
+
+Résultat Final 177-000-106-001-147-134
+
+---------------
+
+120
+
+
+```

UTC501/25-02-21/README.md

@@ -0,0 +1,119 @@
+L'exercice 3 aborde la méthode des moindres carrés et l'équation normale, qui sont des techniques utilisées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires qui ont plus d'équations que d'inconnues.
+
+```
+### Partie a) : Résolution du système \( Ax = b \)
+
+1. **Données**:
+   - Matrice \( A \) :
+     \[
+     A = \begin{pmatrix}
+     1 & 0 \\
+     0 & 1 \\
+     1 & 1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Vecteur \( b \) :
+     \[
+     b = \begin{pmatrix}
+     2 \\
+     2 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+2. **Système à résoudre** : 
+   \[
+   Ax = b
+   \]
+
+3. **Méthode de Gauss-Jordan** :
+   - Ce système n'a pas une solution exacte car il y a plus d'équations que d'inconnues (3 équations, 2 inconnues). On dit que le système est surdéterminé.
+
+### Partie b) : Méthode des moindres carrés
+
+1. **Objectif** : Trouver un vecteur \( x \) qui minimise l'erreur entre \( Ax \) et \( b \).
+
+2. **Équation normale** :
+   - Pour minimiser l'erreur \( \|Ax - b\|^2 \), nous résolvons :
+     \[
+     A^T A x = A^T b
+     \]
+   - Calcul de \( A^T \) (la transposée de \( A \)) :
+     \[
+     A^T = \begin{pmatrix}
+     1 & 0 & 1 \\
+     0 & 1 & 1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Calcul de \( A^T A \) :
+     \[
+     A^T A = \begin{pmatrix}
+     2 & 1 \\
+     1 & 2
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Calcul de \( A^T b \) :
+     \[
+     A^T b = \begin{pmatrix}
+     3 \\
+     3
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+3. **Résolution de l'équation normale** :
+   \[
+   \begin{pmatrix}
+   2 & 1 \\
+   1 & 2
+   \end{pmatrix}
+   \begin{pmatrix}
+   x_1 \\
+   x_2
+   \end{pmatrix}
+   =
+   \begin{pmatrix}
+   3 \\
+   3
+   \end{pmatrix}
+   \]
+   Après résolution, nous trouvons :
+   \[
+   x_1 = 1, \quad x_2 = 1
+   \]
+
+### Partie c) : Calcul de \( x_0 \) et projection de \( b \) sur \( P \)
+
+1. **Calcul de \( x_0 \)** :
+   - \( x_0 = 1 - x_1 - x_2 = 1 - 1 - 1 = -1 \)
+
+2. **Projection de \( b \) sur \( P \)** :
+   - Le point projeté est donné par la combinaison linéaire \( x_0 A_0 + x_1 A_1 + x_2 A_2 \).
+   - Avec les valeurs trouvées :
+     \[
+     \begin{pmatrix}
+     -1 \\
+     0 \\
+     0
+     \end{pmatrix}
+     +
+     \begin{pmatrix}
+     0 \\
+     1 \\
+     0
+     \end{pmatrix}
+     +
+     \begin{pmatrix}
+     0 \\
+     0 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     =
+     \begin{pmatrix}
+     -1 \\
+     1 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+Cela signifie que le point \( b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) est projeté sur le plan \( P \) au point \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
+```

UTC501/29-01-2025/README.md

@@ -0,0 +1,110 @@
+# ED 2 Elements d'arithmétiques
+
+## Exercice 1
+
+
+```
+div 1555 = { 1, 3, 5, 7, 11, 3*5, 3*7, 3*11, 5*7, 5*11, 7*11, 3*5*7, 3*5*11, 3*7*11, 5*7*11, 1555 }
+```
+
+## Exercice 2
+
+### 1 )
+
+#### a = 43 | b = 16
+
+```
+43 = 2 * 16 + 11
+16 = 1 * 11 + 5
+11 = 2 * 5 + 1
+5 = 5 * 1 + 0
+
+PGCD = 1 on dit que 43 et 16 sont premiers entre eux
+```
+
+#### a = 44231 | b = 2750
+
+```
+44231 = 16 * 2750 + 231
+2750 = 11 * 231 + 203
+231 = 1 * 209 + 22
+209 = 9 * 22 + 11
+22 = 2 * 11 + 0
+
+PGCD = 11
+```
+
+#### a = 6234 | b = 3312
+
+```
+6234 = 1 * 3312 + 2922
+3312 = 1 * 2922 + 390
+2922 = 7 * 390 + 192
+390 = 2 * 192 + 6
+192 = 32 * 6 + 0
+
+PGCD = 6
+```
+
+### 2 )
+
+`Dans ce cas la, ^ à la difference du dev veux dire PGCD et non pas "puissance"`
+
+```
+                6234 * 3312   6234 * 3312 
+(6234 V 3312) = ----------- = ----------- = 1039 * 3312 = 3441168
+                6234 ^ 3312        6               
+```
+
+## Exercice 3 
+
+```
+Appelons p le nombre de pièces max dans 1 sac.
+
+7912 = q1 * p + 37 <- 37
+59167 = q2 * p + r <- 42
+
+Le reste est toujours inferieur au diviseur, donc 37 < p , 42 < p
+
+Notons que 7912 - 37 = q1 p => 7875 = q1 p   } Donc le p cherché est parmi
+          59167 - 42 = q2 p => 59125 = q2 p  } les diviseur communs 
+
+le PGCD de 59125 et 7875 est 125 (faire l'algo d'eluclide)
+on sait donc que 43 <= p <= 125
+
+si on fait : 7912 = 63 * 125 + 37   
+            59167 = 473 * 125 + 42
+
+Donc p = 125 est une solution.
+
+Or d'après le théormème p.28, tous les diviseurs de 59125 et 7875 sont des diviseurs de leur PGCD.
+
+Donc il suffit de chercher les diviseurs de 125 :
+
+div { 1 , 5, 5 * 5, 5 * 5 * 5 }
+
+Donc p E div 125 et p < 42 => p = 125 est l'unique solution.
+
+```
+
+## Exercice 4
+
+
+
+## Exercice 5
+
+```
+Il faut forcement au minimum avoir un nombre impaire.
+
+3, 4 -> = 1 donc ils sont premier entre eux
+8, 6 -> =/ 1 (=2)
+13, 6 -> = 1 donc ils sont premier entre eux
+8, 2 -> =/ 1 (=2)
+
+Le mieu des 2 segments verts correspond à un nombre entier.
+autrement dit :
+
+Les segements qui ne passent pas des points de coordonnées entières sauf à la fin, sont des droites qui correspondent au nombres premiers entre eux : la droite (3, 4), la droite (13, 6)
+```
+
+## Exercice 6

UTC501/README.md

@@ -0,0 +1 @@
+# UTC 501 Maths