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+L'exercice 3 aborde la méthode des moindres carrés et l'équation normale, qui sont des techniques utilisées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires qui ont plus d'équations que d'inconnues.
+
+```
+### Partie a) : Résolution du système \( Ax = b \)
+
+1. **Données**:
+   - Matrice \( A \) :
+     \[
+     A = \begin{pmatrix}
+     1 & 0 \\
+     0 & 1 \\
+     1 & 1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Vecteur \( b \) :
+     \[
+     b = \begin{pmatrix}
+     2 \\
+     2 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+2. **Système à résoudre** : 
+   \[
+   Ax = b
+   \]
+
+3. **Méthode de Gauss-Jordan** :
+   - Ce système n'a pas une solution exacte car il y a plus d'équations que d'inconnues (3 équations, 2 inconnues). On dit que le système est surdéterminé.
+
+### Partie b) : Méthode des moindres carrés
+
+1. **Objectif** : Trouver un vecteur \( x \) qui minimise l'erreur entre \( Ax \) et \( b \).
+
+2. **Équation normale** :
+   - Pour minimiser l'erreur \( \|Ax - b\|^2 \), nous résolvons :
+     \[
+     A^T A x = A^T b
+     \]
+   - Calcul de \( A^T \) (la transposée de \( A \)) :
+     \[
+     A^T = \begin{pmatrix}
+     1 & 0 & 1 \\
+     0 & 1 & 1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Calcul de \( A^T A \) :
+     \[
+     A^T A = \begin{pmatrix}
+     2 & 1 \\
+     1 & 2
+     \end{pmatrix}
+     \]
+   - Calcul de \( A^T b \) :
+     \[
+     A^T b = \begin{pmatrix}
+     3 \\
+     3
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+3. **Résolution de l'équation normale** :
+   \[
+   \begin{pmatrix}
+   2 & 1 \\
+   1 & 2
+   \end{pmatrix}
+   \begin{pmatrix}
+   x_1 \\
+   x_2
+   \end{pmatrix}
+   =
+   \begin{pmatrix}
+   3 \\
+   3
+   \end{pmatrix}
+   \]
+   Après résolution, nous trouvons :
+   \[
+   x_1 = 1, \quad x_2 = 1
+   \]
+
+### Partie c) : Calcul de \( x_0 \) et projection de \( b \) sur \( P \)
+
+1. **Calcul de \( x_0 \)** :
+   - \( x_0 = 1 - x_1 - x_2 = 1 - 1 - 1 = -1 \)
+
+2. **Projection de \( b \) sur \( P \)** :
+   - Le point projeté est donné par la combinaison linéaire \( x_0 A_0 + x_1 A_1 + x_2 A_2 \).
+   - Avec les valeurs trouvées :
+     \[
+     \begin{pmatrix}
+     -1 \\
+     0 \\
+     0
+     \end{pmatrix}
+     +
+     \begin{pmatrix}
+     0 \\
+     1 \\
+     0
+     \end{pmatrix}
+     +
+     \begin{pmatrix}
+     0 \\
+     0 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     =
+     \begin{pmatrix}
+     -1 \\
+     1 \\
+     1
+     \end{pmatrix}
+     \]
+
+Cela signifie que le point \( b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) est projeté sur le plan \( P \) au point \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
+```