Initial commit

UE2.11_Mathematiques/26-01-20/README.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# 26 01 20
+
+## Instalation de R studio sur Linux :
+
+```
+sudo apt update
+sudo apt install r-base r-base-dev
+```
+
+Puis [Télécharger r studio desktop](https://posit.co/download/rstudio-desktop/)
+
+```
+cd ~/Téléchargements
+sudo apt install ./rstudio-*.deb
+```
+
+## 1.1
+
+> ∪ ou
+
+> ∩ et / inter
+
+Si on prend un jeu de 32 cartes :
+
+on veut un valet, on a 4/32 donc 1/8 chance de l'avoir
+on veut une carte de couleur pique, on a 8/32 donc 1/4 chance d'en avoir.
+on veut un valet de pique, on a 1/32 de l'avoir
+
+Si on veut un valet ou un pique, on a P(pique) + P(valet) - P(piquedeValet)
+Donc on a 1/8 + 1/4 - 1/32
+Donc 4 + 8 - 1 / 32 Donc 11/32 chance d'avoir ou un valet ou du pique
+
+P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
+

UE2.11_Mathematiques/26-01-27/README.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+# 26 01 27
+
+Légende :
+```
+⊂ -> inclu
+∈ -> Appartient
+∀x -> Pour tout x
+Ø -> Enssemble vide
+! -> factoriel
+```
+
+E = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
+
+F = {a, b, c, d, e} 
+
+F ⊂ E : ∀x ∈ F , x ∈ E
+
+F ⊂ E
+
+>Propriété : 
+>
+>Ø ⊂ E 
+>
+>E ⊂ E
+
+## Exo 1
+
+Soit E = {+,-,*,:}
+écrire P(E), l'ensemble des parties de E
+
+P(E) = {Ø, {+}, {-}, { * }, {:}, {+,-}, {+, * }, {+,:}, {-, * }, {-, :}, { *, :}, {+, -, * }, {+, -, :}, {+, * , :}, {-, * , :}, E}
+
+Donc cardinal de P(E) = 2⁴ = 16
+
+Il y a donc 16 sous enssemble.
+
+## Exo 2
+
+écrire tout les nombres binaires à 4 chiffres que l'on peut écrire avec les bits 0 et 1.
+
+2⁴ = 16 :
+
+(0000); (0001); (0010); (0011); (0100); (0101); (0110); (0111); (1000); (1001); (1010); (1011); (1100); (1101); (1110); (1111)
+
+16 nombres binaires.
+
+> Définition de factoriel
+>
+>`n! = n*(n-1)*(n-2)...*2*1`
+
+> Pérmutation
+
+> Produit cartésien
+
+## Exo 3 
+
+Un club de vacances propose quatre activités pour le matin : vélo, canoë, randonnée, voile et deux activités l’après-midi : atelier culinaire et randonnée. Chaque vacancier peut choisir une activité pour le matin et une pour l’après-midi, qui peut être la même que celle du matin.
+
+Écrire tous les « menus » possibles pour la journée (choix de 2 activités) :
+
+E = matin
+F = Après midi
+
+a = vélo, b = canoë, c = randonnée, d = voile, e = atelié culinaire
+
+E = {a, b, c, d}
+F = {e, c}
+
+cardianl de E * cardinal de F = {a ,e}, {a, c}, {b, e}, {b, c}, {c, e}, {c, c}, {d, e} {d ,c}
+
+4*2 = 8 on est bon.
+
+## Exo 4
+

UE2.11_Mathematiques/26-02-24/README.md

@@ -0,0 +1,102 @@
+# 24 02 26
+
+💡 Qu'est-ce que la loi de Poisson ?
+
+La loi de Poisson sert à modéliser le nombre de fois qu'un événement se produit dans un intervalle de temps (ou d'espace) donné, lorsque l'on connaît la fréquence moyenne de cet événement.
+
+Pour l'utiliser, il faut que :
+
+- Les événements soient indépendants (une panne n'en entraîne pas une autre).
+- Les événements se produisent de manière aléatoire.
+- On connaisse le nombre moyen d'apparitions sur la période (le fameux paramètre λ, prononcé "lambda").
+
+La formule magique :
+Pour calculer la probabilité que l'événement se produise exactement k fois, on utilise cette formule :
+```
+P(X=k)=k!e−λ⋅λk​
+```
+- **X** : C'est ce qu'on cherche (le nombre de pannes).
+- **k** : Le nombre exact de pannes pour lequel on veut calculer la probabilité (0, 1, 2, 3...).
+- **λ (lambda)** : La moyenne habituelle de pannes sur la période.
+- **e** : La constante mathématique exponentielle (environ 2,718).
+- **k!** (factorielle de k) : C'est la multiplication de tous les entiers de 1 à k (ex: 4!=4×3×2×1=24). Note : 0! est toujours égal à 1.
+
+## Application 2 – Les pannes de machine
+
+### 1- Calculer le paramètre de la loi de Poisson suivie par X.
+
+Le paramètre d'une loi de Poisson est noté λ. Il représente la moyenne des événements sur la période étudiée.
+Dans le texte, il est écrit : "au cours d'une période de 8 heures de travail, le nombre moyen de pannes [...] était de 4".
+
+`Réponse : Le paramètre de la loi de Poisson est λ = 4.`
+
+### 2- Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type.
+
+L'Espérance E(X) : C'est la moyenne attendue. Pour une loi de Poisson, l'espérance est toujours égale au paramètre λ.
+```
+E(X)=λ=4 (Cela signifie qu'en moyenne, on s'attend à 4 pannes).
+```
+
+La Variance V(X) : Fait remarquable de la loi de Poisson, la variance (qui mesure la dispersion autour de la moyenne) est aussi égale à λ.
+```
+V(X)=λ=4
+```
+L'Écart-type σ(X) : C'est toujours la racine carrée de la variance.
+```
+σ(X)=V(X)​=4​=2 (Cela signifie que le nombre de pannes s'écarte en moyenne de 2 pannes par rapport à l'espérance de 4).
+```
+### 3- Calculer les probabilités
+
+Notre formule de base pour cet exercice est donc : 
+P(X=k)=k!e−4⋅4k​
+
+- a. Égal à 2 pannes (P(X=2)) :
+```
+Ici, k=2.
+P(X=2)=2!e−4⋅42​
+P(X=2)=2×10,0183⋅16​
+P(X=2)=20,2928​≈0,1465
+```
+`Réponse : Il y a environ 14,65 % de chances d'avoir exactement 2 pannes.`
+
+- b. Égal à 4 pannes (P(X=4)) :
+```
+Ici, k=4.
+P(X=4)=4!e−4⋅44​
+P(X=4)=4×3×2×10,0183⋅256​
+P(X=4)=244,6848​≈0,1954
+```
+
+`Réponse : Il y a environ 19,54 % de chances d'avoir exactement 4 pannes. (C'est la probabilité la plus élevée, ce qui est logique puisque 4 est la moyenne !).`
+
+- c. Inférieur ou égal à 4 pannes (P(X≤4)) :
+Ici, il faut additionner les probabilités d'avoir 0, 1, 2, 3 et 4 pannes.
+```
+P(X≤4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
+
+    P(X=0)=0!e−4⋅40​≈0,0183
+
+    P(X=1)=1!e−4⋅41​≈0,0733
+
+    P(X=2)≈0,1465 (calculé en a)
+
+    P(X=3)=3!e−4⋅43​≈0,1954
+
+    P(X=4)≈0,1954 (calculé en b)
+
+Total : 0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954=0,6289
+```
+`Réponse : Il y a environ 62,89 % de chances d'avoir 4 pannes ou moins.`
+
+- d. Strictement supérieur à 4 pannes (P(X>4)) :
+
+Plutôt que de calculer P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)... jusqu'à l'infini (ce qui est impossible), on utilise l'astuce de l'événement contraire.
+
+La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1 (soit 100%).
+
+Donc : Probabilité(plus de 4 pannes) = 1 - Probabilité(4 pannes ou moins).
+```
+P(X>4)=1−P(X≤4)
+P(X>4)=1−0,6289=0,3711
+```
+`Réponse : Il y a environ 37,11 % de chances d'avoir strictement plus de 4 pannes.`

UE2.11_Mathematiques/26-02-24/application_4.r

@@ -0,0 +1,39 @@
+# Création des vecteurs pour les centres de classe et les effectifs
+centres <- c(147.5, 152.5, 157.5, 162.5, 167.5, 172.5, 177.5, 182.5, 187.5, 192.5, 197.5, 202.5, 207.5)
+effectifs <- c(2, 2, 5, 14, 38, 52, 76, 50, 40, 13, 5, 2, 1)
+
+# Calcul du nombre total de jours (doit être égal à 300 selon l'énoncé)
+N <- sum(effectifs)
+
+# Calcul des fréquences
+frequences <- effectifs / N
+
+# Arrondi à 3 chiffres après la virgule comme demandé
+frequences_arrondies <- round(frequences, 3)
+
+# Pour afficher le résultat dans la console
+print(frequences_arrondies)
+
+# Calcul de la moyenne pondérée
+moyenne <- sum(centres * effectifs) / N
+cat("La moyenne est de :", moyenne, "K€\n")
+
+# Calcul de la variance
+variance <- sum(effectifs * (centres - moyenne)^2) / N
+
+# Calcul de l'écart-type (racine carrée de la variance)
+ecart_type <- sqrt(variance)
+cat("L'écart-type est de :", ecart_type, "K€\n")
+
+# Création du graphique (type = "b" signifie "both" : points et lignes)
+plot(centres, effectifs, 
+     type = "b", 
+     pch = 19,               # Forme des points (ronds pleins)
+     col = "darkblue",       # Couleur de la ligne et des points
+     lwd = 2,                # Épaisseur de la ligne
+     main = "Profil des ventes au cours de l'année", # Titre
+     xlab = "Chiffre d'affaires (K€)",               # Titre de l'axe X
+     ylab = "Nombre de jours")                       # Titre de l'axe Y
+
+# Optionnel : ajouter une grille pour faciliter la lecture
+grid()

UE2.11_Mathematiques/26-03-31/exoR1.r

@@ -0,0 +1,13 @@
+# Exo1 Exemple de 1000 simulations du jet d'une pièce équilibrée pour estimer la probabilité d'obtenir "pile"
+set.seed(123)
+# Simulation de 1000 jets (0 = face, 1 = pile)
+jets <- rbinom(1000, 1, 0.5)
+# Histogramme
+hist(jets,
+  breaks = c(-0.5, 0.5, 1.5),
+  main = "Histogramme des résultats des jets",
+  xlab = "Résultat",
+  ylab = "Fréquence",
+  col = "lightblue",
+  xaxt = "n")
+  axis(1, at = c(0, 1), labels = c("Face", "Pile"))

UE2.11_Mathematiques/26-03-31/exoR2.r

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Exo2 Exemple de 1000 simulations du jet d'un dé à 6 faces équilibrées pour estimer la probabilité d'obtenir laface "4".
+set.seed(123) # pour que les résultats soient reproductibles
+# Nombre de simulations
+n <- 1000
+# Simulation des lancers (1 à 6)
+jets <- sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
+# Estimation de la probabilité d'obtenir un "4"
+prob_4 <- mean(jets == 4)
+# Affichage du résultat
+cat("Probabilité estimée d'obtenir la face 4 :", prob_4, "\n")
+# Histogramme des résultats
+hist(jets,
+     breaks = 0.5:6.5, # pour centrer les barres sur les faces
+     col = "lightgreen",
+     main = "Histogramme des lancers de dé",
+     xlab = "Face du dé",
+     ylab = "Fréquence")

UE2.11_Mathematiques/26-03-31/exoR3.r

@@ -0,0 +1,21 @@
+#Exo3 Simuler la somme des valeurs des faces obtenues en lançant 2 dés à 6 faces équilibrées
+set.seed(123) # pour la reproductibilité
+# Nombre de simulations
+n <- 1000
+# Simulation des deux dés
+de1 <- sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
+de2 <- sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
+# Somme des deux dés
+somme <- de1 + de2
+# Affichage des premières valeurs pour vérifier
+head(somme)
+# Estimation de la fréquence de chaque somme possible (2 à 12)
+table(somme) / n
+# Histogramme des sommes
+hist(somme,
+     breaks = seq(1.5, 12.5, by = 1),
+     col = "lightblue",
+     main = "Histogramme des sommes de 2 dés",
+     xlab = "Somme",
+     ylab = "Fréquence")
+

UE2.11_Mathematiques/26-03-31/exoR4.r

@@ -0,0 +1,31 @@
+# Exo4 Simuler la distribution du rang de la première boule rouge tirée, tirage AVEC remise Modèle d'urne : 
+# Une urne contient m boules dont r rouges. On tire, successivement avec remise n boules dans l'urne et on note
+# leurs couleurs dans l'ordre. La variable aléatoire X étudiée est le rang de la première rouge tirée
+# (=0 si aucune rouge tirée au bout de n fois).
+set.seed(123)
+# Paramètres
+m <- 10 # nombre total de boules
+r <- 3 # nombre de boules rouges
+n <- 5 # nombre de tirages
+Nsim <- 10000 # nombre de simulations
+# Probabilité de tirer une boule rouge à chaque tirage
+p <- r / m
+# Simulation
+X <- numeric(Nsim)
+for (i in 1:Nsim) {
+tirages <- rbinom(n, size = 1, prob = p) # 1 = rouge, 0 = non rouge
+if (any(tirages == 1)) {
+X[i] <- which(tirages == 1)[1] # rang de la première rouge
+} else {
+X[i] <- 0
+}
+}
+# Distribution empirique
+distribution <- table(X) / Nsim
+distribution
+# Visualisation de la distribution
+barplot(distribution,
+col = "lightcoral",
+main = "Distribution du rang de la première boule rouge",
+xlab = "Rang de la première boule rouge (0 = aucune)",
+ylab = "Probabilité")