Guillaume-Sanchez
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L'exercice 3 aborde la méthode des moindres carrés et l'équation normale, qui sont des techniques utilisées pour résoudre des systèmes d'équations linéaires qui ont plus d'équations que d'inconnues.
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### Partie a) : Résolution du système \( Ax = b \)
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1. **Données**:
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- Matrice \( A \) :
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\[
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A = \begin{pmatrix}
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1 & 0 \\
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0 & 1 \\
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1 & 1
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\end{pmatrix}
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\]
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- Vecteur \( b \) :
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\[
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b = \begin{pmatrix}
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2 \\
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2 \\
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1
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\end{pmatrix}
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\]
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2. **Système à résoudre** :
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\[
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Ax = b
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\]
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3. **Méthode de Gauss-Jordan** :
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- Ce système n'a pas une solution exacte car il y a plus d'équations que d'inconnues (3 équations, 2 inconnues). On dit que le système est surdéterminé.
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### Partie b) : Méthode des moindres carrés
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1. **Objectif** : Trouver un vecteur \( x \) qui minimise l'erreur entre \( Ax \) et \( b \).
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2. **Équation normale** :
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- Pour minimiser l'erreur \( \|Ax - b\|^2 \), nous résolvons :
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\[
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A^T A x = A^T b
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\]
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- Calcul de \( A^T \) (la transposée de \( A \)) :
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\[
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A^T = \begin{pmatrix}
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1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & 1
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\end{pmatrix}
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\]
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- Calcul de \( A^T A \) :
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\[
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A^T A = \begin{pmatrix}
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2 & 1 \\
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1 & 2
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|
\end{pmatrix}
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\]
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- Calcul de \( A^T b \) :
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\[
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A^T b = \begin{pmatrix}
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3 \\
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3
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\end{pmatrix}
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\]
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3. **Résolution de l'équation normale** :
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\[
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\begin{pmatrix}
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2 & 1 \\
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|
1 & 2
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|
\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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x_1 \\
|
|
x_2
|
|
\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix}
|
|
3 \\
|
|
3
|
|
\end{pmatrix}
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\]
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Après résolution, nous trouvons :
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\[
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x_1 = 1, \quad x_2 = 1
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\]
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### Partie c) : Calcul de \( x_0 \) et projection de \( b \) sur \( P \)
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1. **Calcul de \( x_0 \)** :
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- \( x_0 = 1 - x_1 - x_2 = 1 - 1 - 1 = -1 \)
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2. **Projection de \( b \) sur \( P \)** :
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- Le point projeté est donné par la combinaison linéaire \( x_0 A_0 + x_1 A_1 + x_2 A_2 \).
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- Avec les valeurs trouvées :
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\[
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\begin{pmatrix}
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-1 \\
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0 \\
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0
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\end{pmatrix}
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|
+
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\begin{pmatrix}
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|
0 \\
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|
1 \\
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|
0
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|
\end{pmatrix}
|
|
+
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
0 \\
|
|
0 \\
|
|
1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
=
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|
\begin{pmatrix}
|
|
-1 \\
|
|
1 \\
|
|
1
|
|
\end{pmatrix}
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|
\]
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Cela signifie que le point \( b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) est projeté sur le plan \( P \) au point \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
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