Guillaume-Sanchez
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# 24 02 26
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💡 Qu'est-ce que la loi de Poisson ?
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La loi de Poisson sert à modéliser le nombre de fois qu'un événement se produit dans un intervalle de temps (ou d'espace) donné, lorsque l'on connaît la fréquence moyenne de cet événement.
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Pour l'utiliser, il faut que :
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- Les événements soient indépendants (une panne n'en entraîne pas une autre).
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- Les événements se produisent de manière aléatoire.
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- On connaisse le nombre moyen d'apparitions sur la période (le fameux paramètre λ, prononcé "lambda").
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La formule magique :
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Pour calculer la probabilité que l'événement se produise exactement k fois, on utilise cette formule :
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P(X=k)=k!e−λ⋅λk
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- **X** : C'est ce qu'on cherche (le nombre de pannes).
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- **k** : Le nombre exact de pannes pour lequel on veut calculer la probabilité (0, 1, 2, 3...).
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- **λ (lambda)** : La moyenne habituelle de pannes sur la période.
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- **e** : La constante mathématique exponentielle (environ 2,718).
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- **k!** (factorielle de k) : C'est la multiplication de tous les entiers de 1 à k (ex: 4!=4×3×2×1=24). Note : 0! est toujours égal à 1.
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## Application 2 – Les pannes de machine
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### 1- Calculer le paramètre de la loi de Poisson suivie par X.
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Le paramètre d'une loi de Poisson est noté λ. Il représente la moyenne des événements sur la période étudiée.
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Dans le texte, il est écrit : "au cours d'une période de 8 heures de travail, le nombre moyen de pannes [...] était de 4".
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`Réponse : Le paramètre de la loi de Poisson est λ = 4.`
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### 2- Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type.
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L'Espérance E(X) : C'est la moyenne attendue. Pour une loi de Poisson, l'espérance est toujours égale au paramètre λ.
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E(X)=λ=4 (Cela signifie qu'en moyenne, on s'attend à 4 pannes).
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La Variance V(X) : Fait remarquable de la loi de Poisson, la variance (qui mesure la dispersion autour de la moyenne) est aussi égale à λ.
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V(X)=λ=4
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L'Écart-type σ(X) : C'est toujours la racine carrée de la variance.
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σ(X)=V(X)=4=2 (Cela signifie que le nombre de pannes s'écarte en moyenne de 2 pannes par rapport à l'espérance de 4).
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### 3- Calculer les probabilités
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Notre formule de base pour cet exercice est donc :
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P(X=k)=k!e−4⋅4k
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- a. Égal à 2 pannes (P(X=2)) :
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Ici, k=2.
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P(X=2)=2!e−4⋅42
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P(X=2)=2×10,0183⋅16
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P(X=2)=20,2928≈0,1465
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`Réponse : Il y a environ 14,65 % de chances d'avoir exactement 2 pannes.`
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- b. Égal à 4 pannes (P(X=4)) :
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Ici, k=4.
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P(X=4)=4!e−4⋅44
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P(X=4)=4×3×2×10,0183⋅256
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P(X=4)=244,6848≈0,1954
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```
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`Réponse : Il y a environ 19,54 % de chances d'avoir exactement 4 pannes. (C'est la probabilité la plus élevée, ce qui est logique puisque 4 est la moyenne !).`
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- c. Inférieur ou égal à 4 pannes (P(X≤4)) :
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Ici, il faut additionner les probabilités d'avoir 0, 1, 2, 3 et 4 pannes.
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P(X≤4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
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P(X=0)=0!e−4⋅40≈0,0183
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P(X=1)=1!e−4⋅41≈0,0733
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P(X=2)≈0,1465 (calculé en a)
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P(X=3)=3!e−4⋅43≈0,1954
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P(X=4)≈0,1954 (calculé en b)
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Total : 0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954=0,6289
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`Réponse : Il y a environ 62,89 % de chances d'avoir 4 pannes ou moins.`
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- d. Strictement supérieur à 4 pannes (P(X>4)) :
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Plutôt que de calculer P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)... jusqu'à l'infini (ce qui est impossible), on utilise l'astuce de l'événement contraire.
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La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1 (soit 100%).
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Donc : Probabilité(plus de 4 pannes) = 1 - Probabilité(4 pannes ou moins).
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P(X>4)=1−P(X≤4)
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P(X>4)=1−0,6289=0,3711
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`Réponse : Il y a environ 37,11 % de chances d'avoir strictement plus de 4 pannes.` |